Y continuamos con el problemilla de las puertas...
He aquí como veo la situación. Empezaré por abordar la variante del problema con mil puertas.
Al escoger una de las mil puertas, lo que se hace en realidad es dividir las puertas en dos conjuntos. Un conjunto de una puerta (la que se escogió) y un conjunto con 999 puertas. La probabilidad de que el premio se oculte tras la puerta elegida es de 1/1000, mientras que la probabilidad de que el premio se oculte tras alguna de las puertas del otro conjunto es 999/1000, casi uno!
Lo que hará ahora el presentador es, restringiéndose al conjunto de 999 puertas, abrir 998 detrás de las cuales no debes buscar.
Al final te quedas con dos puertas... la que elegiste originalmente (con probabilidad de 1/1000) y la que el presentador eligió por ti (con probabilidad de 999/1000).
En el caso del problema con tres puertas algo análogo sucede. Uno divide las puertas en dos conjuntos. En el primer conjunto hay una sola puerta, en el segundo conjunto hay dos puertas de las cuales el presentador descartará una. Así nos quedamos al final con dos puertas cerradas: una con una probabilidad de 1/3 de encontrar el premio detrás de ella y la otra con una probabilidad de 2/3.
Así que en los dos casos, ya sean mil puertas o tan sólo tres, lo conveniente es cambiar de puerta.
¿Suena convincente la explicación?
4 comentarios:
Hola Rogelio,
Pues esto de las puertas hace pensar mucho, y está bueno por eso, como todo ejercicio de probabilidades. Como mi experiencia me enseñó, en las probabilidades el problema se resuelve según con la estrategia que se lo agarre.
Pues aquí me mando con mi afirmación en el caso de las puertas, que la descubrí mientras me cepillaba los dientes. Lo voy a presentar en el caso de las 3 puertas, luego el razonamiento se generaliza a cuantas puertas se deseen.
En este caso el participante elige una. Independiente de donde está el coche, el presentador del programa sabe en qué dos puertas no está el coche. Así que dependiendo en la elección del participante, abrirá una sin el coche y que no sea la recién elegida (el presentador sabe esto, ahí está la trampa). Esto de cumple cualquiera sea la elección del participante.
Luego se le pide al participante que elija cambiar o no. A estas alturas, esto se traduce en elegir entre dos puertas, en donde en una está el coche. Y es ésta la real elección del participante.
Por lo tanto, según esta visión la probabilidad de ganar es 1/2. Lo mismo se aplica en el caso de más puertas, el presentador sabe dónde está el auto, y abrirá 998 en donde no está, dejando dos puertas al final, en donde el concursante deberá decidir su elección.
Otro cantar sería si el presentador NO sabe dónde está el coche, en cuyo caso el presentador corre el riesgo de abrir la puerta con el coche, entrando en otro problema de probabilidades distintas.
Espero que se pueda ver la idea detrás de mi explicación. Como Blas dijo en el post anterior, es sólo una (muy inteligente) ilusión psicológica.
Así es, si el presentador sabe de antemano dónde se encuentra el coche, entonces la mejor estrategia es cambiar de puerta. Si el presentador no sabe dónde está el coche (y de casualidad no abre la puerta donde éste se encuentra), entonces cada una de las dos puertas que permanece cerrada representa una probabilidad de 1/2 de tener éxito.
Una cosa interesante que tu comentario me ha puesto a pensar es el hecho de que el conocimiento que el presentador pueda tener altera las probabilidades en el juego.
Por lo tanto, si el concursante no sabe si el presentador sabe dónde está el coche, aún así (ante la duda) la mejor estrategia es cambiar de puerta.
Ojo, no dije que la mejor estrategia es cambiar la puerta. Cambiar o no la puerta es indistinto: no cambiar significa elegir la puerta una de dos puertas porque el presentador eliminará una donde no esta el coche de cualquier manera. Y cambiar significa lo mismo, pero en un sentido más claro, pues el concursante ve dos puertas solamente.
Así que independientemente de cambiar o no, la probabilidad de ganar es 1/2.
Y dejame pensar lo de cómo quedan las probabilidades si el presentador no sabe dónde está el coche, corriendo el riesgo de abrir una de las puertas con el coche al final. Podemos reeditar el juego de esta forma:
Hay dos participantes, tres puertas, en una de ellas un coche. El participante A tiene elige una puerta, el participante B otra. Primero se abre la puerta de elección del participante B. Si sale el auto, se lo gana. Sino, el participante A tiene la opción de cambiar de puerta. La pregunta es, ¿cuáles son las probabilidades de ganar de ambos participantes, considerando que el participante A puede cambiar?
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